חילוק

                                                                                                                                           

::חילוק

בפעולת חילוק נתונים שני מספרים. הראשון שאותו מחלקים, נקרא "מחולק". והשני ,שבו מחלקים את הראשון, נקרא "מחלק". המספר המתקבל כתוצאה מהחילוק נקרא "מנה". בחילוק אי אפשר לשנות את מיקומם של המספרים הנתונים בו. הבחינה של תוצאת החילוק נעשית באמצעות כפל - מכפילים את המחלק במנה, וכשיש שארית מוסיפים אותה למכפלה של המחלק במנה. את התוצאה משווים למחולק.ישנן שתי משמעויות מקובלות לחילוק - "חילוק לחלקים" ו"חילוק להכלה". חילוק לחלקים היא פעולה של חלוקה לחלקים שווים: אם יש לנו קבוצה בת a איברים וחילקנו אותה ל-b קבוצות שוות בגודלן, כמה איברים יש בכל קבוצה? אם חילקנו עשר פרוסות עוגה בין חמישה ילדים, כמה פרוסות קיבל כל ילד? בחילוק לחלקים נכתב המחלק בלי שם, כי הוא מראה פי כמה להקטין את המחולק, והמנה מציינת כמות מאותו סוג של המחולק. המשמעות השנייה היא חילוק להכלה. שם זה נובע מכך שבחלוקה זו, אנו מקבלים מידע על החלק ועל השלם, ושואלים כמה פעמים החלק מוכל בשלם. בחילוק להכלה נשאלת השאלה, בהינתן שיש לנו קבוצה בגודל a שחילקנו למספר קבוצות שוות בגודל b, מהו מספר הקבוצות שאליהן חילקנו? לדוגמה, אם חילקנו עשר פרוסות עוגה בין מספר ילדים בצורה שווה כך שכל ילד קיבל שתי פרוסות, כמה ילדים יש? בדוגמת העוגות, אנו יודעים שגודל כל חלק הוא 2 וגודל השלם הוא 10, ושואלים את עצמנו כמה פעמים נכנס (מוכל) 2 ב-10. בחילוק להכלה למחולק ולמחלק שם אחד, והמנה נכתבת בלי שם, כי היא מראה כמה פעמים כלול המחלק במחולק.חילוק היא הפעולה ההפוכה לכפל, כלומר אם , הרי פעולת החילוק של c ב-b תיתן תשובה לשאלה: כאשר במשוואה זו ידועים ערכיהם של b ושל c, מהו ערכו של a?אם קיים מספר שלם כזה, אז b מחלק את c. למשל, 6 מחלק את 18 משום ש-  (לפעמים כותבים  כדי לציין ש- b מחלק את c). פעולת החילוק אינה סגורה בקבוצת המספרים הטבעיים, וגם לא בקבוצת המספרים השלמים, משום שחילוק של 7 ב-2, למשל, נותן תוצאה שאינה מספר שלם. ביצוע פעולת חילוק זו בקבוצת המספרים השלמים נותן מנה 3 ושארית 1. פעולת החילוק סגורה בקבוצת המספרים הרציונליים. ניתן להרחיב את הגדרתן של פעולת החיבור, החיסור והכפל כך שיחולו גם על קבוצת המספרים הרציונליים (ראו בערך מספר רציונלי).עם זאת, מעל קבוצת המספרים הרציונליים (וגם המספרים הממשיים והמרוכבים) התוצאה של חלוקה באפס אינה מוגדרת היטב. זאת מכיוון שמכפלת כל מספר באפס נותנת אפס, ולכן לכל  לא קיים מספר  כך ש, ואילו כאשר המשוואה שלנו היא  הרי שכל מספר הוא תשובה לשאלה שלנו, ולכן התשובה איננה חד משמעית. ישנם פיתוחים מתמטיים של קבוצות המספרים כך שחלוקה באפס תתאפשר (תוך ויתור על חלק מתכונות המספרים), אך באופן כללי תוצאה של חלוקה באפס נותרה בלתי מוגדרת.פעולת החילוק מסומנת בסימן  או בסימן . באופן מעשי לרוב נהוג לכתוב חילוק באמצעות שבר, כאשר המחולק הוא המונה והמחלק הוא המכנה.נשים לב כי בקבוצת המספרים הרציונליים ובקבוצות המכילות אותה, פעולה של חילוק במספר  כלשהו זהה לפעולה של כפל במספר , שהוא המספר ההופכי של , כלומר . על כן, ניתן לראות כל פעולת חילוק כסוג של פעולת כפל.ניתן להרחיב את הגדרתן של פעולות החיבור, החיסור, הכפל והחילוק כך שיחולו גם על קבוצת המספרים הממשיים וקבוצת המספרים המרוכבים.תרגילים :

תרגילי חילוק ארוך בלי שארית  

_____                                   ____                                 ____                                _____

  6 8  |  2                              5 7 | 3                              9 9  | 9                             3 9  | 3

  _____                                  _____                             ______                           ______

  2 5 4 |  2                             1 5 5 | 5                         7 8 5 | 5                        5 9 4  | 3                                                                           

                        

  _______                                                ______                                            ________                       

  8 8 2 0 |  6                                          4 8 4  | 4                                         1 5 2 4  | 6                                                                                          

                        

  _______                                             _______                                       _______                        

  8 9 2 5 |  5                                        5 7 6   | 3                                   4 3 3 3  | 7                                                                                          

                        

  _______                                               ______                                        _____                       

  1 2 4 8 |  2                                         5 8 8  | 6                                     8 3 7 | 9                                                                                           

                        

             

                        

  _______                                              ________                                        _______                       

  1 3 6 0 |  8                                         4 5 7 2  | 3                                   8 0  9 2 | 2